Beispiele mit Lösungen zur Mitternachtsformel - Aufgaben online lösen


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Die Mitternachtsformel benötigt Ihr, um quadratische Gleichungen zu lösen und Nullstellen von quadratischen Funktionen zu bestimmen. Eigentlich handelt es sich bei dem Namen "Mitternachtsformel" nur um einen umgangssprachlichen Ausdruck für "Lösungsformel" oder "abc Formel". Eine Erklärung dafür, warum die Lösungformel auch Mitternachtsformel genannt wird ist, da Schüler diese Formel unbedingt auswendig lernen und "wie aus der Pistole geschossen" können sollten, auch "wenn man sie um Mitternacht weckt und danach fragt". Die Mitternachtsformel hat eine starke Ähnlichkeit mit der PQ-Formel. Beide Formeln liefern das gleiche Ergebnis, vorausgesetzt, man hat sich nicht verrechnet. 

Die allgemeine Mitternachtsformel für die Lösung einer quadratischen Gleichung ax2+bx+c=0 lautet: 


Die Lösungsformel ist gar nicht so schwer, wie man vielleicht denkt. Mit Hilfe der folgenden Beispiele und einer genauen Erklärung werdet auch Ihr die abc Formel sicher anwenden können.

Erklärung und Beispiele für die Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel dient dazu, quadratische Gleichungen zu lösen, in denen gleichzeitig ein x und ein x2 vorkommen. Damit Ihr die Mitternachtsformel anwenden könnt, müsst Ihr sie in der Form ax2+bx+c=0 aufschreiben. Die Pluszeichen können aber auch Minuszeichen sein. Konkret könnte die Gleichung auch so aussehen: -0,25x2-0,5x+2=0

Anhand dieser Erklärung seht Ihr, dass die Gleichung gleich NULL gesetzt wird. Das bedeutet, dass Ihr dadurch die Nullstellen der Gleichung erhaltet.

Bevor Ihr anhand der folgenden Erklärung mit der Lösung der Gleichung beginnt, solltet Ihr Euch einen wichtigen Fachbegriff der Mitternachtsformel in Erinnerung rufen. Unter dem Wurzelzeichen in der abc Formel findet Ihr ein D, das für "Diskriminante" steht. Da Ihr mit D nicht rechnen könnt, müsst Ihr folgende Formel anwenden: D= b2-4 · a · c. Auch diese Formel solltet Ihr auswendig lernen, wenn Ihr die Mitternachtsformel anwenden wollt. Anhand der folgenden Erklärung erfährt Ihr, wie Ihr mit Hilfe der Diskriminante und der Lösungsformel auf ein konkretes Ergebnis kommt: 

Nun müsst Ihr eigentlich nur noch rechnen, da die Mitternachtsformel nur noch aus Zahlen besteht. Durch die Veränderung der Vorzeichen +/- kommt Ihr auf zwei unterschiedliche Ergebnisse, nämlich x1=-4 und x2=2. Diese beiden Lösungen der Gleichung sind auch die beiden Nullstellen der Funktion.

Fehlerquellen: Erklärung, warum die Formel manchmal nicht funktioniert

Viele Schüler erkennen oft nicht, wann sie die Mitternachtsformel anwenden sollen. Dies ist die häufigste Ursache für Fehler und die erste Erklärung, warum die Formel manchmal nicht funktioniert. Denn dann werden gerne Wurzeln gezogen, wo sie gar nicht gezogen werden dürfen. Lernt deshalb die Mitternachtsformel und die Formel der Diskriminante wirklich gut auswendig. Und wendet die abc Formel immer dann an, wenn ein x2 und ein x in der Gleichung vorkommen. Die Gleichung solltet Ihr dann so vereinfachen, dass rechts vom Ist-gleich-Zeichen NULL steht. 

Eine zweite Erklärung, warum es zu Fehlern kommt, ist natürlich ein Rechenfehler, der beim Auflösen der Mitternachtsformel Probleme bereitet. Insbesondere bei der Berechnung der Diskriminante kann es vorkommen, dass Ihr für b2 mit einer negativen Zahl quadrieren müsst. Achtet in diesem Fall darauf, dass Ihr Klammern setzt. Denn beim Quadrieren fallen die Minus-Vorzeichen weg und das führt ohne dem Einsatz von Klammern rasch zu Fehlern.

Es gibt noch eine dritte Erklärung, warum Fehler entstehen. Denn falls vor dem x2 oder x keine Zahl steht, müsst Ihr mit dem Wert 1 rechnen. Häufig rechnen Schüler dann mit NULL. Das ist jedoch falsch die Mitternachtsformel ergibt einen vollkommen anderen Wert.

Alternative zur Mitternachtsformel: die PQ-Formel

Wie bereits erwähnt ist die Mitternachtsformel der PQ-Formel sehr ähnlich. Wendet Ihr beide Formeln richtig an, erhält Ihr am Ende das gleich Ergebnis. Denn die PQ-Formel dient ebenfalls zur Lösung quadratischer Gleichungen. Sie ist etwas leichter zu merken. Der Vorfaktor des quadratischen Summanden muss bei der Anwendung der PQ-Formel jedoch a=1 sein. Sonst funktioniert die PQ-Formel nicht.

Quadratische Gleichungen im Einstellungstest

In Auswahlverfahren für bestimmte Studiengänge kann die Mitternachtsformel recht hilfreich sein. Das kann beispielsweise  bei Bewerbungen für eine Offizierslaufbahn bei der Bundeswehr, oder für ein Studium bei der Polizeiakademie sein. Fakt ist, für eine höhere Ausbildung solltest du entweder die Mitternachtsformel, oder die pq-Formel aus dem FF können.

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FrageAnzahl
Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung? -2x² + 4x + 32 = 0

Häufigkeit der Antworten:
Keine Lösung (16.41%), Genau eine Lösung (17.94%), Genau zwei Lösungen (62.02%) richtig, Unendlich viele Lösungen (3.63%)
524
Die Gleichung 2x²+2x=0 hat die gleichen Lösungen wie ...

Häufigkeit der Antworten:
2x+2=0 (33.52%), x+1=0 (10.64%), x(x+1)=0 (22.88%) richtig, x(x+2)=0 (32.97%)
16485
Berechne die Nullstelle der ersten Ableitung von (x + 6)² - 16x = 0

Häufigkeit der Antworten:
x=-10 (29.35%), x=-2 (25.64%) richtig, x=-10 (28.37%), x=-20 (16.64%)
52725
Löse die quadratische Gleichung -4x² + 3x + 1 = 0

Häufigkeit der Antworten:
L={1; 0,5} (9.09%) richtig, L={1; 2,5} (45.45%), L={1,5; 2} (0%), L={−1; 0,25} (45.45%) richtig
11
Die Lösungsmenge für die Gleichung 3x² + 15x + 18 = 0 lautet ...

Häufigkeit der Antworten:
{x = -2, x = -3} (49.43%) richtig, {x = -2, x = -2} (18.97%), {x = -1, x = -3} (21.65%), {x = 2, x = 3} (9.96%)
522
Die Lösungsmenge für die Gleichung x² - 9x - 22 = 0 lautet ...

Häufigkeit der Antworten:
{x = -2, x = -3} (20.57%), {x = -2, x = 5} (16.19%), {x = -2, x = 11} (55.62%) richtig, {x = -2, x = -1} (7.62%)
525
Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung? 2x² + 4x + 8 = 0

Häufigkeit der Antworten:
Keine Lösung (34.35%) richtig, Genau eine Lösung (18.51%), Genau zwei Lösungen (43.7%), Unendlich viele Lösungen (3.44%)
524
Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung? (x+2)(x-5) = 0

Häufigkeit der Antworten:
Keine Lösung (19.43%), Genau eine Lösung (27.72%), Genau zwei Lösungen (40.61%) richtig, Unendlich viele Lösungen (12.24%)
11835
Die Lösungsmenge für die Gleichung 10(x-3)(x-4) = 0 lautet ...

Häufigkeit der Antworten:
{x = 3, x = 5} (13.02%), {x = 3, x = 4} (57.49%) richtig, {x = 2, x = 4} (17.25%), {x = 2, x = 5} (12.24%)
10681


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